Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC= AA1 ， D是棱AA1的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：平面BDC1⊥平面BDC
（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）由題意知BC⊥CC1 ， BC⊥AC，CC1∩AC=C，
∴BC⊥平面ACC1A1 ， 又DC1平面ACC1A1 ，
∴DC1⊥BC．
由題設(shè)知∠A1DC1=∠ADC=45°，
∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C，
∴DC1⊥平面BDC，又DC1平面BDC1 ，
∴平面BDC1⊥平面BDC；
（Ⅱ）設(shè)棱錐B﹣DACC1的體積為V1 ， AC=1，由題意得V1= × ×1×1= ，
又三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積V=1，
∴（V﹣V1）：V1=1：1，
∴平面BDC1分此棱柱兩部分體積的比為1：1．
【解析】（Ⅰ）由題意易證DC1⊥平面BDC，再由面面垂直的判定定理即可證得平面BDC1⊥平面BDC；（Ⅱ）設(shè)棱錐B﹣DACC1的體積為V1 ， AC=1，易求V1= × ×1×1= ，三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積V=1，于是可得（V﹣V1）：V1=1：1，從而可得答案．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征和平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形；一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直才能正確解答此題．