Question

已知

a

與

b

均為單位向量，其夾角為θ，有下列四個(gè)命題P₁：|

a

+

b

|＞1?θ∈[0，

2π

3

）；P₂：|

a

+

b

|＞1?θ∈（

2π

3

，π]；P₃：|

a

-

b

|＞1?θ∈[0，

π

3

）；P₄：|

a

-

b

|＞1?θ∈（

π

3

，π]；其中的真命題是（　　）

• A、P₁，P₄
• B、P₁，P₃
• C、P₂，P₃
• D、P₂，P₄

Answer 1

分析：利用向量長(zhǎng)度與向量數(shù)量積之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解是解決本題的關(guān)鍵，要列出關(guān)于夾角的不等式，通過求解不等式得出向量夾角的范圍．

解答：解：由|

a

-

b

|＞1，得出2-2cosθ＞1，即cosθ＜

1

2

，又θ∈[0，π]，故可以得出θ∈（

π

3

，π]，故P₃錯(cuò)誤，P₄正確．
由|

a

+

b

|＞1，得出2+2cosθ＞1，即cosθ＞-

1

2

，又θ∈[0，π]，故可以得出θ∈[0，

2π

3

），故P₂錯(cuò)誤，P₁正確．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角不等式的求解，考查向量長(zhǎng)度不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化，考查向量數(shù)量積與向量長(zhǎng)度之間的聯(lián)系問題，弄清向量夾角與向量數(shù)量積的依賴關(guān)系，考查學(xué)生分析問題解決問題的思路與方法，考查學(xué)生解題的轉(zhuǎn)化與化歸能力．