Question

10．已知函數(shù)f（x）=ax²+4x-2b+1（a∈R，b∈R）．
（1）函數(shù)f（x）在x=1處取得最大值為5，求f（x）的解析式；
（2）若b=2，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）在x=1處取得最大值為5，則 $-\frac{4}{2a}$=1，$\frac{4a（-2b+1）-16}{4a}$=5，解得a，b值，可得f（x）的解析式；
（2）若b=2，結(jié)合二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分析函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最小值，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）在x=1處取得最大值為5，
∴$-\frac{4}{2a}$=1，$\frac{4a（-2b+1）-16}{4a}$=5，
解得：a=-2，b=-1，
∴f（x）=-2x²+4x+3；
（2）若b=2，則f（x）=ax²+4x-3，
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）=ax²+4x-3的圖象是開口朝下，且以直線x=-$\frac{2}{a}$為對(duì)稱軸的拋物線，
當(dāng)0＜-$\frac{2}{a}$≤$\frac{1}{2}$，即-4≤a＜0時(shí)，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取最小值4a+5；
當(dāng)-$\frac{2}{a}$＞$\frac{1}{2}$，即a＜-4時(shí)，當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)取最小值a-7；
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=4x-3，當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)取最小值-7；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）=ax²+4x-3的圖象是開口朝上，且以直線x=-$\frac{2}{a}$為對(duì)稱軸的拋物線，
當(dāng)-1＜-$\frac{2}{a}$＜0，即a＞2時(shí)，當(dāng)x=-$\frac{2}{a}$時(shí)，函數(shù)取最小值-3-$\frac{4}{a}$；
當(dāng)-$\frac{2}{a}$≤-1，即0＜a≤2時(shí)，當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)取最小值a-7；
綜上所述：函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最小值為$\left\{\begin{array}{l}a-7，a＜-4\\ 4a+5，-4≤a＜0\\ a-7，0≤a≤2\\-3-\frac{2}{a}，a＞2\end{array}\right.$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．