Question

15．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，點$A（\frac{{\sqrt{15}}}{2}，\frac{1}{2}）$是以F₁F₂為直徑的圓與雙曲線的一交點．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若P為該雙曲線上任意一點，直線PF₁、PF₂分別交雙曲線于M、N兩點，$\overrightarrow{P{F_1}}={λ_1}\overrightarrow{{F_1}M}（{λ_1}≠-1）$，$\overrightarrow{P{F_2}}={λ_2}\overrightarrow{{F_2}N}（{λ_2}≠-1）$，請判斷λ₁+λ₂是否為定值，若是，求出該定值；若不是請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意$\overrightarrow{{AF}_{1}}$⊥$\overrightarrow{{AF}_{2}}$，由此列方程求出c的值，再求|$\overrightarrow{{AF}_{1}}$|、|$\overrightarrow{{AF}_{2}}$|的值，得出a的值，
從而求出b的值，即可寫出雙曲線的方程；
（2）設點P（x₀，y₀），由$\overrightarrow{P{F_1}}={λ_1}\overrightarrow{{F_1}M}（{λ_1}≠-1）$求向量$\overrightarrow{OM}$的坐標，由$\overrightarrow{P{F_2}}={λ_2}\overrightarrow{{F_2}N}（{λ_2}≠-1）$求出$\overrightarrow{ON}$的坐標，
把M、N的坐標代入雙曲線方程，消去x₀，y₀，經(jīng)過化簡，即可求出λ₁+λ₂是定值．

解答 解：（1）∵雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，
∴F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）；
又點$A（\frac{{\sqrt{15}}}{2}，\frac{1}{2}）$是以F₁F₂為直徑的圓與雙曲線的一交點，
∴$\overrightarrow{{AF}_{1}}$⊥$\overrightarrow{{AF}_{2}}$，即$\overrightarrow{{AF}_{1}}$•$\overrightarrow{{AF}_{2}}$=0，
∴（-c-$\frac{\sqrt{15}}{2}$）（c-$\frac{\sqrt{15}}{2}$）+${（-\frac{1}{2}）}^{2}$=0，
解得c=2；
∴|$\overrightarrow{{AF}_{1}}$|=$\sqrt{{（-2-\frac{\sqrt{15}}{2}）}^{2}{+（-\frac{1}{2}）}^{2}}$=$\sqrt{5}$+$\sqrt{3}$，
|$\overrightarrow{{AF}_{2}}$|=$\sqrt{{（2-\frac{\sqrt{15}}{2}）}^{2}{+（-\frac{1}{2}）}^{2}}$=$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$；
∴|$\overrightarrow{{AF}_{1}}$|-|$\overrightarrow{{AF}_{2}}$|=2a=2$\sqrt{3}$，
解得a=$\sqrt{3}$；
∴b=$\sqrt{{c}^{2}{-a}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}{-（\sqrt{3}）}^{2}}$=1，
∴雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1；
（2）設點P（x₀，y₀），
∵$\overrightarrow{P{F_1}}={λ_1}\overrightarrow{{F_1}M}（{λ_1}≠-1）$，
∴$\overrightarrow{{OF}_{1}}$-$\overrightarrow{OP}$=λ（$\overrightarrow{OM}$-$\overrightarrow{{OF}_{1}}$），
∴$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1{+λ}_{2}}{{λ}_{1}}$$\overrightarrow{{OF}_{1}}$-$\frac{1}{{λ}_{1}}$$\overrightarrow{OP}$=（-$\frac{2+{2λ}_{1}{+x}_{0}}{{λ}_{1}}$，-$\frac{{y}_{0}}{{λ}_{1}}$）；
同理，由$\overrightarrow{P{F_2}}={λ_2}\overrightarrow{{F_2}N}（{λ_2}≠-1）$，得
$\overrightarrow{ON}$=（$\frac{2+{2λ}_{2}{-x}_{0}}{{λ}_{2}}$，-$\frac{{y}_{0}}{{λ}_{2}}$）；
把M、N的坐標代入雙曲線方程，得
$\left\{\begin{array}{l}{{（2+{2λ}_{1}{+x}_{0}）}^{2}-{{3y}_{0}}^{2}={{3λ}_{1}}^{2}}\\{{（2+{2λ}_{2}{-x}_{0}）}^{2}-{{3y}_{0}}^{2}={{3λ}_{2}}^{2}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{4（1{+λ}_{1}）}^{2}+{4x}_{0}（1{+λ}_{1}）={{3λ}_{1}}^{2}-3}\\{{4（1{+λ}_{2}）}^{2}-{4x}_{0}（1{+λ}_{2}）={{3λ}_{2}}^{2}-3}\end{array}\right.$；
消去x₀，得
4${（1{+λ}_{1}）}^{2}$（1+λ₂）+4（1+λ₁）${（1{+λ}_{2}）}^{2}$=3（${{λ}_{1}}^{2}$-1）（1+λ₂）+3（${{λ}_{2}}^{2}$-1）（1+λ₁），
即4（1+λ₁）（1+λ₂）（λ₁+λ₂+2）=3（1+λ₁）（1+λ₂）（λ₁+λ₂-2）；
∵（1+λ₁）（1+λ₂）≠0，
∴4（λ₁+λ₂+2）=3（λ₁+λ₂-2），
解得λ₁+λ₂=-14；即λ₁+λ₂為定值．

點評 本題考查了圓錐曲線的綜合應用問題，也考查了運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想；對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性，綜合性強，難度大．