Question

已知函數(shù)f（x）=x3+x2+ax+b,g（x）=x3+x2+ 1nx+b，（a，b為常數(shù)）．

    （I）若g（x）在x=l處的切線方程為y=kx－5（k為常數(shù)），求b的值；

    （II）設(shè)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f’（x），若存在唯一的實數(shù)x0，使得f（x0）=x0與f′（x0）=0同時成立，求實數(shù)b的取值范圍；

    （III）令F（x）=f（x）－g（x），若函數(shù)F（x）存在極值，且所有極值之和大于5+1n2，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵ 所以直線的，當(dāng)時，，將（1，6）代入，得．   

 （Ⅱ）  ，由題意知消去，

得有唯一解．

令，則，   

所以在區(qū)間上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，

又，故實數(shù)的取值范圍是． 

（Ⅲ）

因為存在極值，所以在上有根即方程在上有根．   

記方程的兩根為由韋達定理，所以方程的根必為兩不等正根．    

 所以滿足方程判別式大于零

故所求取值范圍為