Question

已知函數(shù)f（x）=x，函數(shù)g（x）=λf（x）+sinx是區(qū)間[-1，1]上的減函數(shù)．
（1）求λ的最大值；
（2）若g（x）＜t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意由于f（x）=x，所以函數(shù)g（x）=λf（x）+sinx=λx+sinx，又因為該函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上的減函數(shù)，所以可以得到λ的范圍；
（2）由于g（x）＜t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立?[g（x）]_max=g（-1）=-λ-sinl，解出即可；

解答：解：（1）∵f（x）=x，
∴g（x）=λx+sinx，
∵g（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，
∴g'（x）=λ+cosx≤0
∴λ≤-cosx在[-1，1]上恒成立，λ≤-1，故λ的最大值為-1．
（2）由題意[g（x）]_max=g（-1）=-λ-sinl
∴只需-λ-sinl＜t²+λt+1
∴（t+1）λ+t²+sin+1＞0（其中λ≤-1），恒成立，
令h（λ）=（t+1）λ+t²+sin1+1＞0（λ≤-1），
則

t+1＜0 -t-1+t2+sin1+1＞0

，
∴

t＜-1 t2-t+sin1＞0

，而t²-t+sin1＞0恒成立，
∴t＜-1
又t=-1時-λ-sinl＜t²+λt+1
故t的取值范圍：t≤-1

點評：此題考查了導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求解恒成立問題，還考查了函數(shù)恒成立問題，二次函數(shù)的恒成立問題分兩類，一是大于0恒成立須滿足開口向上，且判別式小于0，二是小于0恒成立須滿足開口向下，且判別式小于0．