Question

已知在()的展開式中，第6項為常數(shù)項．

(1)求n；

(2)求含x²的項的系數(shù)；

(3)求展開式所有的有理項．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)通項公式為 Tr＋1=Cx(-3)rx-=C(-3)rx, 因為第6項為常數(shù)項， 所以，r＝5時有=0．即n＝10． (2)令=2．得r=(n-6)=2 ∴所求的系數(shù)為C(-3)2=405． (3)根據(jù)通項公式，由題意得          令＝k(k∈Z)， 則10-2r＝3k，即r=5-k． ∵r∈Z，∴k應(yīng)為偶數(shù)，∴k可取2，0，-2即r可取2，5，8．所以第3項，第6項與第9項為有理項，它們分別為C(-3)2x2,C(-3)4,C·（-3）8x-2 點評：(1)本題是先求二項式的指數(shù)，再求與通項有關(guān)的其他問題，一般地，解此類問題可以分兩步完成：第一步是根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)．[求解時要注意二項式系數(shù)中”和r的隱含條件(n，r均為非負(fù)整數(shù)，n≥r)]；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項．此外，解本題時，為減少計算中的錯誤，宜把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪． (2)題設(shè)展開式中有常數(shù)項的條件，實際上隱含了未知數(shù)的零次項的存在，所以n-2r：0，因此，由有常數(shù)項的條件可求得n．反之，若已知n，求展開式中常數(shù)項時，可先假設(shè)展開式的第r＋1項為常數(shù)項，合并通項公式中同一字母的指數(shù)得 f(r)，然后令f(r)＝0，從中求得r的非負(fù)整數(shù)值，即得所求的項． (3)所謂求二項展開式中的有理項，一般是根據(jù)通項公式所得到的項，其所有的未知數(shù)的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項．解這類型的問題必須合并通項公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解．若求二項展開式中的整式項，則其通項公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù)．求解方式與求有理項一致． (4)由本題的第(2)題知，二項式系數(shù)與系數(shù)是兩個不同的概念，本題中x2項的系數(shù)為405，而x2項的二項式系數(shù)為C=45，初學(xué)者要能區(qū)別，切不可混淆．