已知：F1和F2為雙曲線數(shù)學公式-數(shù)學公式=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點，F(xiàn)1，F(xiàn)2，P（0，2b）是正三角形的三個頂點，
（1）求：雙曲線的離心率；
（2）若雙曲線經(jīng)過點Q（4，6），求：雙曲線的方程．

解：（1）∵F1，F(xiàn)2，P（0，2b）構(gòu)成正三角形，∴，
即有3c2=4（c2-a2），則；
（2）∵雙曲線（a＞0，b＞0）的離心率，∴c2=4a2，
∵c2=a2+b，∴b2=3a2，∴雙曲線方程變?yōu)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/75610.png' />，
∵雙曲線經(jīng)過點Q（4，6），∴，
∴a2=4，則雙曲線方程為．
分析：（1）利用F1，F(xiàn)2，P（0，2b）構(gòu)成正三角形，可得幾何量之間的關(guān)系，即可求雙曲線的離心率；
（2）利用離心率化簡雙曲線的方程，代入點的坐標，即可求得雙曲線的方程．
點評：本題考查雙曲線的標準方程與幾何性質(zhì)，考查學生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知：F1和F2為雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點，F(xiàn)1，F(xiàn)2，P（0，2b）是正三角形的三個頂點，
（1）求：雙曲線的離心率；
（2）若雙曲線經(jīng)過點Q（4，6），求：雙曲線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2-
y2
b2
=1（b＞0）的左、右焦點，過F2作垂直于x軸的直線，在x軸上方交雙曲線于點M，且∠MF1F2=30°，圓O的方程為x2+y2=b2．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過圓O上任意一點Q（x0，y0）作切線l交雙曲線C于A，B兩個不同點，AB中點為M，求證：|AB|=2|OM|；
（3）過雙曲線C上一點P作兩條漸近線的垂線，垂足分別是P1和P2，求
PP1
•
PP2
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知：F1和F2為雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點，F(xiàn)1，F(xiàn)2，P（0，2b）是正三角形的三個頂點，
（1）求：雙曲線的離心率；
（2）若雙曲線經(jīng)過點Q（4，6），求：雙曲線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年遼寧省葫蘆島二中高二（上）12月月考數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知：F1和F2為雙曲線-=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點，F(xiàn)1，F(xiàn)2，P（0，2b）是正三角形的三個頂點，
（1）求：雙曲線的離心率；
（2）若雙曲線經(jīng)過點Q（4，6），求：雙曲線的方程．

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