Question

已知z為復(fù)數(shù)，z+2i和

z

2-i

均為實數(shù)，其中i是虛數(shù)單位．
（Ⅰ）求復(fù)數(shù)z；
（Ⅱ）若復(fù)數(shù)（z+ai）²在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，整理出z+2i和

z

2-i

，根據(jù)兩個都是實數(shù)虛部都等于0，得到復(fù)數(shù)的代數(shù)形式．
（II）根據(jù)上一問做出的復(fù)數(shù)的結(jié)果，代入復(fù)數(shù)（z+ai）²，利用復(fù)數(shù)的加減和乘方運算，寫出代數(shù)的標準形式，根據(jù)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第一象限，寫出關(guān)于實部大于0和虛部大于0，解不等式組，得到結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R），
由題意，z+2i=a+bi+2i=a+（b+2）i∈R，
∴b+2=0，即b=-2．
又

z

2-i

=

(a+bi)(2+i)

5

=

2a-b

5

+

2b+a

5

i∈R，
∴2b+a=0，即a=-2b=4．∴z=4-2i．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知z=4-2i，
∵（z+ai）²=（4-2i+ai）²=[4+（a-2）i]²=16-（a-2）²+8（a-2）i
對應(yīng)的點在復(fù)平面的第一象限，
∴

16-(a-2)2＞0 8(a-2)＞0

解得a的取值范圍為2＜a＜6．

點評：本題考查復(fù)數(shù)的加減乘除運算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和幾何意義，考查復(fù)數(shù)與復(fù)平面上點的對應(yīng)，考查解決實際問題的能力，是一個綜合題．