Question

已知雙曲線的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，P，M為C上任意點，，，，則的最小值為    ．

Answer 1

【答案】分析：由雙曲線的方程可得 a=，c=，由條件可得雙曲線的方程為為 =1，過M作右準(zhǔn)線
的垂線MH，H為垂足，由雙曲線的定義可得|MH|=|MF₂|，故  =|MH|+|MN|≥|NH|．
解答：解：由雙曲線的方程可得 a=，c=，F(xiàn)₁ （-c，0），F(xiàn)₂  （c，0）．
設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，n），n＞0，則有 ，解得  b²=1，
故雙曲線的方程為 =1，故c=，e==．過M作右準(zhǔn)線 x=  的垂線MH，H為垂足，
 由雙曲線的定義可得 =e=，∴|MH|=|MF₂|．
 故  =|MH|+|MN|≥|NH|=-=，
當(dāng)且僅當(dāng)M、N、H 三點共線時取等號．
點評：本題考查雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，得到|MH|=|MF₂|，是解題的關(guān)鍵．