Question

【題目】已知函數(shù)f（x）滿足：對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）f（y）﹣f（x）﹣f（y）+2成立，且x＞0時(shí)，f（x）＞2，
（1）求f（0）的值，并證明：當(dāng)x＜0時(shí)，1＜f（x）＜2．
（2）判斷f（x）的單調(diào)性并加以證明．
（3）若函數(shù)g（x）=|f（x）﹣k|在（﹣∞，0）上遞減，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x+y）=f（x）f（y）﹣f（x）﹣f（y）+2令x=y=0，

f（0）=f（0）f（0）﹣f（0）﹣f（0）+2

∴f2（0）﹣3f（0）+2=0，f（0）=2或 f（0）=1

若 f（0）=1

則 f（1）=f（1+0）=f（1）f（0）﹣f（1）﹣f（0）+2=1，

與已知條件x＞0時(shí)，f（x）＞2相矛盾，∴f（0）=2

設(shè)x＜0，則﹣x＞0，那么f（﹣x）＞2

又2=f（0）=f（x﹣x）=f（x）f（﹣x）﹣f（x）﹣f（﹣x）+2

∴

∵f（﹣x）＞2

，∴ ，從而1＜f（x）＜2

（2）解：函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)

設(shè)x1＜x2則x2﹣x1＞0，∴f（x2﹣x1）＞2

f（x2）=f（x2﹣x1+x1）=f（x2﹣x1）f（x1）﹣f（x2﹣x1）﹣f（x1）+2

=f（x2﹣x1）[f（x1）﹣1]﹣f（x1）+2

∵由（1）可知對x∈R，f（x）＞1，∴f（x1）﹣1＞0，又f（x2﹣x1）＞2

∴f（x2﹣x1）[f（x1）﹣1]＞2f（x1）﹣2

f（x2﹣x1）[f（x1）﹣1]﹣f（x1）+2＞f（x1）

即f（x2）＞f（x1）

∴函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)

（3）解：∵由（2）函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)

∴函數(shù)y=f（x）﹣k在R上也是增函數(shù)

若函數(shù)g（x）=|f（x）﹣k|在（﹣∞，0）上遞減

則x∈（﹣∞，0）時(shí)，g（x）=|f（x）﹣k|=k﹣f（x）

即x∈（﹣∞，0）時(shí)，f（x）﹣k＜0，

∵x∈（﹣∞，0）時(shí)，f（x）＜f（0）=2，∴k≥2

【解析】（1）f（x+y）=f（x）f（y）﹣f（x）﹣f（y）+2中，令x=y=0，再驗(yàn)證即可求出f（0）=2．設(shè)x＜0，則﹣x＞0，利用 結(jié)合x＞0時(shí)，f（x）＞2，再證明．（2）設(shè)x1＜x2 ， 將f（x2）轉(zhuǎn)化成f（x2﹣x1+x1）=f（x2﹣x1）f（x1）﹣f（x2﹣x1）﹣f（x1）+2=f（x2﹣x1）[f（x1）﹣1]﹣f（x1）+2，得出了f（x2）與f（x1）關(guān)系表達(dá)式，
且有f（x2﹣x1）＞2，可以證明其單調(diào)性．（3）結(jié)合（2）分析出x∈（﹣∞，0）時(shí)，f（x）﹣k＜0，k大于 f（x）的最大值即可．