Question

15．函數(shù)y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\sqrt{-{x}^{2}+x+2}}$的單調(diào)增區(qū)間為[$\frac{1}{2}$，2]，值域為[$\frac{\sqrt{2}}{4}$，1]．

Answer 1

分析 令函數(shù)t=$\sqrt{{-x}^{2}+x+2}$，則y=${（\frac{1}{2}）}^{t}$，本題即求函數(shù)t的減區(qū)間．再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得t的減區(qū)間和值域，可得y的減區(qū)間和值域．

解答 解：函數(shù)y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\sqrt{-{x}^{2}+x+2}}$的單調(diào)增區(qū)間，即函數(shù)t=$\sqrt{{-x}^{2}+x+2}$=$\sqrt{{-（x-\frac{1}{2}）}^{2}+\frac{9}{4}}$ 的減區(qū)間，y=${（\frac{1}{2}）}^{t}$．
由-x²+x+2≥0，求得-1≤x≤2，故函數(shù)t的定義域為[-1，2]．
再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)t的減區(qū)間為[$\frac{1}{2}$，2]．
再根據(jù)0≤t≤$\frac{3}{2}$，可得 $\sqrt{\frac{1}{8}}$≤y≤1，
故答案為：[$\frac{1}{2}$，2]；[$\frac{\sqrt{2}}{4}$，1]．

點評 本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．