Question

直三棱柱ABC－A₁B₁C₁的直觀(guān)圖及三視圖如下圖所示，D為AC的中點(diǎn)，則下列命題是假命題的是(   )

A．AB₁∥平面BDC₁

B．A₁C⊥平面BDC₁

C．直三棱柱的體積V＝4

D．直三棱柱的外接球的表面積為4π

 

Answer 1

【答案】

D

【解析】

試題分析：由三視圖可知，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁側(cè)面B₁C₁CB為邊長(zhǎng)為2的正方形，底面ABC是等腰直角三角形，AB⊥BC，AB=BC=2，連B₁C交BC₁于O，連接OD，在△CAB₁中，O，D分別是B₁C，AC的中點(diǎn)，∴OD∥AB₁，而AB₁⊄平面BDC₁，OD⊂平面BDC₁，∴AB₁∥平面BDC_1，A對(duì)；直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴AA₁⊥BD，∵AB=BC=2，D為AC的中點(diǎn)，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面AA₁C₁C，∴BD⊥A₁C①，又A₁B₁⊥B₁C₁，A₁B₁⊥B₁B，∴A₁B₁⊥平面B₁C₁CB，∴A₁B₁⊥B₁C，在正方形B₁C₁CB中，BC₁⊥B₁C，∵B₁C，A₁B₁⊂平面A₁B₁C，B₁C∩A₁B₁⊂=B₁，∴B₁C⊥平面A₁B₁C，∴B₁C⊥A₁C②,由①②，又BD∩BC₁=B，BD，BC₁⊂平面BDC₁，∴A₁C⊥平面BDC₁ ,B對(duì)；，C對(duì)；直三棱柱的外接球的半徑為所在正方體的體對(duì)角線(xiàn)的一半，即，故直三棱柱的外接球的表面積為，D錯(cuò).故選D.

考點(diǎn)：1.三視圖；2.直線(xiàn)與平面平行的判定；3.直線(xiàn)與平面垂直的判定