Question

在120°的二面角a－l－β中，A∈a，B∈β，已知點A和B到棱l的距離分別為2和4，且AB=10，求：

　　(1)直線AB與棱l所成的角；

　　(2)直線AB與平面β所成的角；

(3)求異面直線AB與l的距離．

Answer 1

答案：
解析：

(1)分別在平面a和β上．作AC⊥l，BD⊥l，垂足為C和D，再在β上過C作CE∥DB且CE=DB，再連BE，從BD⊥l知EC⊥l，則∠ACE是二面角a－l－β的平面角，即∠ACE=1200． 從作法知，四邊形BDCE是矩形，且l⊥平面ACE，于是BE⊥平面ACE，則BE⊥AE，△ABE是直角三角形，又△ACE中AC=2，EC=BD=4，∠ACE=120° 則AE=，由于BE∥l，故∠ABE是直線AB與棱l所成的角，所以在Rt△ABE中sin∠ABE=，故∠ABE=arcsin． 對于(2)的解決中，首先要作出直線AB在平面β上的射影，從l⊥平面ACE知，平面ACE⊥平面β和a，從A點作到β上的射影，其垂足必然在平面ACE與β的交線上，由于△ACE中，∠ACE為120°是一個鈍角，所以作AA′⊥CE，其射影A′一定落在CE的反向延長線上，所以AA′=ACsin(180°－120°)=2sin60°=．連A′B，則∠ABA′就是AB與平面β所成的角，sin∠ABA′=， ∴ABA′=arcsin． (3)易知l∥平面ABE，于是l與AB的距離轉化為求直線l到平面ABE的距離，由于平面ACE⊥平面ABE，于是自C作CF⊥AE，垂足為F，則CF⊥平面ABE，在△ACE中利用面積可建立關系式CF·2·=2·4·sin120°，得CF=．