Question

已知函數(shù)(,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸,求的值;

(2)求函數(shù)的極值;

(3)當(dāng)的值時(shí),若直線與曲線沒(méi)有公共點(diǎn),求的最大值.

 

Answer 1

(1）.；(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)極小值；當(dāng)，在處取得極小值，無(wú)極大值.；(3)的最大值為.

【解析】

試題分析：(1)由于曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，所以.求導(dǎo)解方程即可得的值.(2)由于函數(shù)中含參數(shù)，故需要分情況討論.求導(dǎo)得：，分情況求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可得函數(shù)的極值；(3)當(dāng)時(shí)，.直線:與曲線沒(méi)有公共點(diǎn)等價(jià)于關(guān)于的方程在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解.一般地考慮分離參數(shù).即變形為：

(*)在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解.當(dāng)時(shí)，方程(*)可化為，在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解.當(dāng)時(shí)，方程(*)化為.令，利用導(dǎo)數(shù)求出的取值范圍即可得的取值范圍.

試題解析：(1)由,得.

又曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸,

得,即,解得.

(2),

①當(dāng)時(shí),,為上的增函數(shù),所以函數(shù)無(wú)極值.

②當(dāng)時(shí),令,得,.

,;,.

所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

故在處取得極小值,且極小值為,無(wú)極大值.

綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)無(wú)極小值;

當(dāng),在處取得極小值,無(wú)極大值.

(3)當(dāng)時(shí),.

直線:與曲線沒(méi)有公共點(diǎn),

等價(jià)于關(guān)于的方程在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解,即關(guān)于的方程:

(*)

在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解.

①當(dāng)時(shí),方程(*)可化為,在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解.

②當(dāng)時(shí),方程(*)化為.

令,則有.

令,得,

當(dāng)變化時(shí),的變化情況如下表:

 

當(dāng)時(shí),,同時(shí)當(dāng)趨于時(shí),趨于,

從而的取值范圍為.所以當(dāng)時(shí),方程(*)無(wú)實(shí)數(shù)解,解得的取值范圍是.

綜上,得的最大值為.

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.