Question

18．已知函數(shù)g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在區(qū)間[2，3]上有最小值1和最大值4，設(shè)f（x）=$\frac{g（x）}{x}$．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式f（x）-kx-4≤0在x∈[-1，0）恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的對稱軸，可得區(qū)間[2，3]為增區(qū)間，可得a，b方程，解得a=1，b=0；
（2）化簡f（x），由題意可得k≤$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{6}{x}$+1在[-1，0）恒成立．運用配方和二次函數(shù)的最值求法，可得最小值為8，進(jìn)而得到k的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）的對稱軸為x=1，
區(qū)間[2，3]在對稱軸的右邊，為增區(qū)間，
即有g(shù)（2）=1，g（3）=4，
即為1+b=1，3a+1+b=4，
解得a=1，b=0；
（2）f（x）=$\frac{g（x）}{x}$=x+$\frac{1}{x}$-2，
不等式f（x）-kx-4≤0在x∈[-1，0）恒成立，
即為k≤$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{6}{x}$+1在[-1，0）恒成立．
由$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{6}{x}$+1=（$\frac{1}{x}$-3）²-8，由$\frac{1}{x}$≤-1，
可得當(dāng)x=-1時，取得最小值8，
則有k≤8，
即k的取值范圍是（-∞，8]．

點評 本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離，考查運算能力，屬于中檔題．