Question

4．橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{4}=1$的焦點為F₁，F(xiàn)₂，過F₁的直線與橢圓C交于A，B兩點，若△ABF₂的周長是12，則橢圓C的離心率是$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

Answer 1

分析 運用橢圓的定義可得4a=12，解得a，再由橢圓方程可得b，求得c，運用離心率公式即可得到所求．

解答 解：由橢圓的定義可得AF₁+AF₂=BF₁+BF₂=2a，
△ABF₂的周長是12，即有4a=12，解得a=3，
由橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{4}=1$可得b=2，
即有c²=a²-b²=9-4=5，解得c=$\sqrt{5}$，
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

點評 本題考查橢圓的定義和方程及性質(zhì)，考查離心率的求法，以及運算能力，屬于基礎(chǔ)題．