定義向量⊕運算：
a
⊕
b
=
c
，若
a
=（a1，a2），
b
=（b1，b2），則向量
c
=（a1b1，a2b2）．已知
m
=（
1
2
，2），
n
=（
π
6
，0），且點P（x，y）在函數(shù)y=cos2x的圖象上運動，點Q在函數(shù)y=f（x）的圖象上運動，且點P和點Q滿足：
OQ
=
m
⊕
OP
+
n
（其中O為坐標原點），則函數(shù)y=f（x）的最大值A及最小正周期T分別為（　�。�
分析：可先把動點Q的坐標設出，然后根據(jù)給出的新定義把向量
m
、
n
、
OP
的坐標代入，整理后得到關于Q點的橫縱坐標的參數(shù)方程，消參后即可得到函數(shù)y=f（x）的解析式，則函數(shù)的最大值和周期可求．
解答：解：設Q（x1，y1），則
OQ
=(x1，y1)，
m
=(
1
2
，2)，
OP
=(x，y)，
n
=(
π
6
，0)，
因為點P（x，y）在函數(shù)y=cos2x的圖象上運動，所以P（x，cos2x），
所以由
OQ
=
m
⊕
OP
+
n
得：(x1，y1)=(
1
2
x，2cos2x)+(
π
6
，0)=(
1
2
x+
π
6
，2cos2x)，
所以
x1=
1
2
x+
π
6
y1=2cos2x
，解得：y1=2cos(4x1-
π
3
)，
即f（x）=2cos（4x-
π
3
）．
所以函數(shù)f（x）的最大值A=2，周期T=
2π
4
=
π
2
．
故選B．
點評：本題以向量為載體，考查了函數(shù)的周期和值域，考查了兩向量相等的條件，訓練了消參方法，解答此題的關鍵是能夠正確解出函數(shù)f（x）的解析式，屬新定義問題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設
a
=( a1 ， a2)，
b
=( b1 ， b2)，定義一種向量運算：
a
?
b
=( a1b1 ， a2b2)，已知
m
=(
1
2
 ， 2a)，
n
=(
π
4
 ， 0)，點P（x，y）在函數(shù)g（x）=sinx的圖象上運動，點Q在函數(shù)y=f（x）的圖象上運動，且滿足
OQ
=
m
?
OP
+
n
（其中O為坐標原點）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)h(x)=2asin2x+
3
2
f(x-
π
4
)+b，且h（x）的定義域為[
π
2
 ， π]，值域為[2，5]，求a，b的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（文）對于任意的平面向量
a
=(x1，y1)，
b
=(x2，y2)，定義新運算⊕：
a
⊕
b
=(x1+x2，y1y2)．若
a
，
b
，
c
為平面向量，k∈R，則下列運算性質(zhì)一定成立的所有序號是
①③
①③
．
①
a
⊕
b
=
b
⊕
a
；            
②(k
a
)⊕
b
=
a
⊕(k
b
)；
③
a
⊕(
b
⊕
c
)=(
a
⊕
b
)⊕
c
；   
④
a
⊕(
b
+
c
)=
a
⊕
b
+
a
⊕
c
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•閘北區(qū)二模）對于任意的平面向量
a
=(x1，y1)，
b
=(x2，y2)，定義新運算⊕：
a
⊕
b
=(x1+x2，y1y2)．若
a
，
b
，
c
為平面向量，k∈R，則下列運算性質(zhì)一定成立的所有序號是
①④
①④
．
①
a
⊕
b
=
b
⊕
a
；    ②(k
a
)⊕
b
=
a
⊕(k
b
)；    ③k(
a
⊕
b
)=(k
a
)⊕(k
b
)
④
a
⊕(
b
⊕
c
)=(
a
⊕
b
)⊕
c
；     ⑤
a
⊕(
b
+
c
)=
a
⊕
b
+
a
⊕
c
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•潮州二模）設向量
a
=(a1，a2)，
b
=(b1，b2)，定義一運算：
a
?
b
=(a1，a2)?（b1，b2）=（a1b1，a2b2）．已知
m
=(
1
2
，2)，
.
n
=(x1，sinx1)，點Q在y=f（x）的圖象上運動，且滿足
.
OQ
≡
m
?
n
（其中O為坐標原點），則y=f（x）的最大值及最小正周期分別是（　�。�

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