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【題目】如圖,在四棱錐中,平面,為線段上一點不在端點.

(1)當為中點時，，求證：面

(2)當為中點時，是否存在，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在求出M的坐標，若不存在，說明理由.

【答案】（1）證明見解析（2）存在，

【解析】

（1）法一：建立空間直角坐標系，找坐標，利用直線的方向向量與平面的法向量垂直，證明即可.法二：取BP的中點E，連接，，則，根據線面平行的判定定理證明即可.

（2）假設存在點M，根據，求點M的坐標，求平面的法向量為，根據，求解，即可.

(1)方法一：證明：因為平面，，平面.

所以.

又，所以，，兩兩垂直.

分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系.

則，.

顯然平面的法向量為，則

又不在平面內，所以平面.

方法二：取的中點，連接，

由為的中點，可知

在平面四邊形中，

即，所以，即

由已知得

所以，四邊形是平行四邊形，所以

因為平面，平面

所以平面

(2)假設存在點M使得與平面所成角的正弦值為

則，所以

為中點，則，即

設平面的法向量為

∴，不妨設，則

∴

設線面角為，則

解得或1（舍去）

∴時，直線與平面所成角的正弦值為．

練習冊系列答案
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