Question

【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，離心率為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且斜率存在的直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，證明：為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見(jiàn)解析

【解析】

(1)先由題意設(shè)橢圓的方程，再結(jié)合條件列出方程，從而可求出橢圓的方程；

(2)先設(shè)直線的方程，由直線與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理表示出，以及，化簡(jiǎn)之后作商,即可證明結(jié)論.

解法一：

（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

由拋物線的焦點(diǎn)為，得，①

又，②

由①②及，解得，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)化為.

（2）依題意設(shè)直線的方程為，

設(shè)點(diǎn)，，

當(dāng)時(shí)，聯(lián)立方程得，

，

所以，，

的中點(diǎn)坐標(biāo)為，

的垂直平分線為，

令，得，，

又，

所以，

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與原點(diǎn)重合，則，，所以；

綜上所述，為定值.

解法二：

（1）同解法一.

（2）依題意，當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，

設(shè)點(diǎn)，，

聯(lián)立方程得，

所以，

，，

，

，

所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，

的垂直平分線為，

令，得，所以，

所以；

當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，點(diǎn)與原點(diǎn)重合，則，，

所以；

綜上所述，為定值.