Question

15．對(duì)于正項(xiàng)數(shù)列{a_n}，記b_n=a₁+a₂+…+a_n，c_n=b₁b₂…b_n，且b_n+c_n=1，求{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．

Answer 1

分析 通過(guò)求出前幾項(xiàng)的值猜測(cè)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明，裂項(xiàng)、并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：依題意，易知當(dāng)n=1時(shí)a₁=$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{1×2}$；
當(dāng)n=2時(shí)，有：b₂=$\frac{1}{2}$+a₂，c₂=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$+a₂）=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$a₂，
∵b₂+c₂=（$\frac{1}{2}$+a₂）+（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$a₂）=1，
∴a₂=$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{2×3}$；
當(dāng)n=3時(shí)，b₃=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+a₃=$\frac{2}{3}$+a₃，
c₃=$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{3}$•（$\frac{2}{3}$+a₃）=$\frac{2}{9}$+$\frac{2}{3}$a₃，
∵b₃+c₃=（$\frac{2}{3}$+a₃）+（$\frac{2}{9}$+$\frac{2}{3}$a₃）=1，
∴a₃=$\frac{1}{12}$=$\frac{1}{3×4}$，
猜測(cè)：a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$．
下面用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k＞1）時(shí)有a_k=$\frac{1}{k（k+1）}$，
則b_k=1-$\frac{1}{k+1}$=$\frac{k}{k+1}$，c_k=$\frac{1}{k+1}$，
∴b_k+1=b_k+a_k+1=$\frac{k}{k+1}$+a_k+1，
c_k+1=c_k•b_k+1=$\frac{1}{k+1}$（$\frac{k}{k+1}$+a_k+1），
又∵b_k+1+c_k+1=1，
即$\frac{k}{k+1}$+a_k+1+$\frac{1}{k+1}$（$\frac{k}{k+1}$+a_k+1）=1，
整理得：$\frac{k+2}{k+1}$a_k+1=$\frac{1}{（k+1）^{2}}$，
解得：a_k+1=$\frac{1}{（k+1）（k+2）}$，
即當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立；
由①、②可知，a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$．
∴S_n=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查數(shù)學(xué)歸納法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．