Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、、．

（1）求以線段、為鄰邊的平行四邊形兩條對(duì)角線的長；

（2）設(shè)，且，若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）、；（2）.

【解析】

（1）方法一：計(jì)算出向量、，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求出所求得的兩條對(duì)角線和的長度；

方法二：利用平行四邊形的對(duì)角線互相平分可求出第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式可求得平行四邊形兩條對(duì)角線的長度；

（2）求出向量的坐標(biāo)，然后利用共線向量的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的方程，解出即可.

（1）（方法一）由題設(shè)知，，

則，．

所以，．

故所求的兩條對(duì)角線的長分別為、；

（方法二）設(shè)該平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)為，兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為，

則為、的中點(diǎn)，，

又為的中點(diǎn)，則，解得，則點(diǎn)，

由兩點(diǎn)間的距離公式可得，

，

故所求的兩條對(duì)角線的長分別為、；

（2）由題設(shè)知：，．

由，得，從而，所以．