Question

銳角三角形ABC中，若A=2B，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．則下列四個(gè)結(jié)論：
①sin3B=sin2C②tan

3B

2

tan

C

2

=1③

π

6

＜B＜

π

4

④

a

b

∈(

2

，

3

]
其中正確的是

②③④

．

Answer 1

分析：銳角三角形ABC中，由A=2B，可以由此解出B的取值范圍，再由此范圍對(duì)四個(gè)命題進(jìn)行判斷，得出真假

解答：解：∵銳角三角形ABC中，若A=2B
∴

2B＜ π 2 3B＞ π 2

∴

π

6

＜B＜

π

4

由于3B+C=π，故有sin3B=sinC，所以sin3B=sin2C不成立，①錯(cuò)誤；
由于3B+C=π，可得

3B

2

+

C

C

=

π

2

，故有tan

3B

2

tan

C

2

=1，②正確；
由前解知

π

6

＜B＜

π

4

故③正確；
由于

a

b

=

sin2B

sinB

=2cosB，又

π

6

＜B＜

π

4

，故有2cosB∈(

2?

，

3?

]，即得

a

b

∈(

2

，

3

]正確
綜上，②③④正確，
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角中的相關(guān)公式，對(duì)條件銳角三角形ABC中，A=2B的正確轉(zhuǎn)化是本題的難點(diǎn)