Question

2．已知二次函數(shù)f（x）=ax²-（3a-b）x+c，其中a＞0，f（1）=-a，若函數(shù)y=f（x）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A（x₁，0）、B（x₂，0），其中x₁∈（-1，$\frac{1}{2}$），x₂∉（-1，$\frac{1}{2}$）；
（1）求證：-$\frac{1}{2}$＜$\frac{a}$＜$\frac{5}{2}$；
（2）若函數(shù)y=f（x）的頂點(diǎn)為C，當(dāng)|AB|取得最小值時(shí)，△ABC為等腰直角三角形，求此時(shí)的二次函數(shù)y=f（x）的解析式．
（3）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，函數(shù)y=f（x）的最小值為-$\frac{5}{8}$b，求$\frac{a}$的值．

Answer 1

分析 （1）代入x=1，求得c=a-b，再由f（-1）＞0，f（$\frac{1}{2}$）＜0，解不等式即可得證；
（2）運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，配方求得最小值2，進(jìn)而得到a=b，c=0，再由△ABC為等腰直角三角形，求得C（1，-1），即可得到f（x）的解析式；
（3）由于f（x）的圖象的開(kāi)口向上，則f（x）在[0，1]的最小值，可能為頂點(diǎn)或兩端點(diǎn)．分別求f（0）=-$\frac{5}{8}$b，或f（1）=-$\frac{5}{8}$b，或f（$\frac{3a-b}{2a}$）=-$\frac{5}{8}$b，再檢驗(yàn)對(duì)稱軸和區(qū)間[0，1]的關(guān)系，即可判斷．

解答 （1）證明：f（1）=-a，可得a-（3a-b）+c=-a，
化簡(jiǎn)得c=a-b，由x₁∈（-1，$\frac{1}{2}$），可得f（-1）＞0，f（$\frac{1}{2}$）＜0，
即有a+（3a-b）+c＞0且$\frac{1}{4}$a-$\frac{1}{2}$（3a-b）+c＜0，
即5a-2b＞0，且-a-2b＜0，
解得-$\frac{1}{2}$＜$\frac{a}$＜$\frac{5}{2}$；
（2）解：由f（x）=0的兩根為x₁、x₂，
則x₁+x₂=$\frac{3a-b}{a}$，x₁x₂=$\frac{a-b}{a}$，
則|AB|=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{3a-b}{a}）^{2}-\frac{4a（a-b）}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{（\frac{a}-1）^{2}+4}$，
當(dāng)$\frac{a}$=1∈[0，1]時(shí)，|AB|取得最小值，且為2，
即有f（x）=ax²-2ax+c=ax（x-2），即有A（0，0），B（2，0），
則C的橫坐標(biāo)為1，由△ABC為等腰直角三角形，則C（1，-1），
則有-1=a•（1-2），解得a=1，
故f（x）=x²-2x；
（3）解：由于f（x）的圖象的開(kāi)口向上，則f（x）在[0，1]的最小值，可能為頂點(diǎn)處或兩端點(diǎn)處．
若f（x）的最小值為f（0）=-$\frac{5}{8}$b，即為c=-$\frac{5}{8}$b=a-b，
解得$\frac{a}$=$\frac{8}{3}$，則f（x）的對(duì)稱軸為x=$\frac{3a-b}{2a}$=$\frac{1}{6}$∈[0，1]，
則區(qū)間[0，1]不為增區(qū)間，舍去；
若f（x）的最小值為f（1）=-$\frac{5}{8}$b，即為a-3a+b+c=-$\frac{5}{8}$b，代入c=a-b，
解得$\frac{a}$=$\frac{8}{5}$，則f（x）的對(duì)稱軸為x=$\frac{3a-b}{2a}$=$\frac{7}{10}$∈[0，1]，
則區(qū)間[0，1]不為減區(qū)間，舍去；
若f（x）的最小值為f（$\frac{3a-b}{2a}$）=-$\frac{5}{8}$b，即為$\frac{4ac-（3a-b）^{2}}{4a}$=-$\frac{5}{8}$b，代入c=a-b，
解得$\frac{a}$=2或$\frac{5}{2}$，則f（x）的對(duì)稱軸為x=$\frac{3a-b}{2a}$=$\frac{1}{2}$∈[0，1]，或$\frac{1}{4}$∈[0，1]，
故成立．
綜上可得$\frac{a}$=2或$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的解析式的求法和最值的求法，主要考查二次方程的韋達(dá)定理和單調(diào)性的運(yùn)用，運(yùn)用分類(lèi)討論的思想方法是解題的關(guān)鍵，注意求最值時(shí)，討論最值取得的可能之處，是簡(jiǎn)化解題的策略．