Question

設(shè)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式|x+7|+|x-1|≥m恒成立．
（1）求m的取值范圍；
（2）當(dāng)m取最大值時(shí)，解關(guān)于x的不等式：|x-3|-2x≤2m-12．

Answer 1

分析：（1）要使不等式|x+7|+|x-1|≥m恒成立，需f（x）=|x+7|+|x-1|的最小值大于或等于m，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求f（x）的最小值．
（2）當(dāng)m取最大值8時(shí)，原不等式等價(jià)于：|x-3|-2x≤4，去掉絕對(duì)值符號(hào)，解此不等式．

解答：解：（1）設(shè)f（x）=|x+7|+|x-1|，則有f（x）=

-6-2x，x≤-7 8，-7≤x≤1 2x+6，x≥1

，
當(dāng)x≤-7時(shí)，f（x）有最小值8；當(dāng)-7≤x≤1時(shí)，f（x）有最小值8；
當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）有最小值8．綜上f（x）有最小值8，所以，m≤8．
（2）當(dāng)m取最大值時(shí)m=8，原不等式等價(jià)于：|x-3|-2x≤4，
等價(jià)于：

x≥3 x-3-2x≤4

，或

x≤3 3-x-2x≤4

，
等價(jià)于：x≥3或-

1

3

≤x≤3，
所以原不等式的解集為{x|x≥-

1

3

}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，以及恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．