【題目】已知動圓過定點且與圓相切，記動圓圓心的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過點且斜率不為零的直線交曲線于， 兩點，在軸上是否存在定點，使得直線的斜率之積為非零常數(shù)？若存在，求出定點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）當(dāng)定點為時，常數(shù)為；當(dāng)定點為時，常數(shù)為．

【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)動圓的半徑為，則可得，從而可得結(jié)果；（Ⅱ）依題意可設(shè)直線的方程為， ， ，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，假設(shè)存在定點，根據(jù)韋達定理， ，由可得結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ）設(shè)動圓的半徑為，

由： 及知點在圓內(nèi)，則有

從而，

所以的軌跡是以， 為焦點，長軸長為4的橢圓，

設(shè)曲線的方程為，則， ，

所以， ，

故曲線的軌跡方程為．

（Ⅱ）依題意可設(shè)直線的方程為， ， ，

由得，

所以則，

，

假設(shè)存在定點，使得直線， 的斜率之積為非零常數(shù)，則

，

所以 ，

要使為非零常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)解得，

當(dāng)時，常數(shù)為，

當(dāng)時，常數(shù)為，

所以存在兩個定點和，使直線， 的斜率之積為常數(shù)，當(dāng)定點為時，常數(shù)為；當(dāng)定點為時，常數(shù)為．

【方法點晴】本題主要考查待定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及解析幾何中的存在性問題，屬于難題.解決存在性問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在，注意：①當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時要分類討論；②當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時，先假設(shè)成立，再推出條件；③當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法題很難時采取另外的途徑.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）求曲線與直線垂直的切線方程；

（2）求的單調(diào)遞減區(qū)間；

（3）若存在，使函數(shù)成立，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】當(dāng)今信息時代，眾多高中生也配上了手機.某校為研究經(jīng)常使用手機是否對學(xué)習(xí)成績有影響，隨機抽取高三年級50名理科生的一次數(shù)學(xué)周練成績，用莖葉圖表示如下圖：

（1）根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為經(jīng)常使用手機對學(xué)習(xí)成績有影響？

及格（）

不及格

合計

很少使用手機

經(jīng)常使用手機

合計

（2）從50人中，選取一名很少使用手機的同學(xué)記為甲和一名經(jīng)常使用手機的同學(xué)記為乙，解一道數(shù)列題，甲、乙獨立解決此題的概率分別為， ， ，若，則此二人適合結(jié)為學(xué)習(xí)上互幫互助的“師徒”，記為兩人中解決此題的人數(shù)，若，問兩人是否適合結(jié)為“師徒”？

參考公式及數(shù)據(jù)： ，其中.

<>0.10

0.05

0.025

2.706

3.841

5.024

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知是常數(shù).

(Ⅰ)求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知 =（cosα，sinα）， =（cosβ，sinβ），其中0＜α＜β＜π．
（1）求證： 與 互相垂直；
（2）若k 與 ﹣k 的長度相等，求β﹣α的值（k為非零的常數(shù)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}中的前n項和為Sn= ，又an=log2bn ．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）求數(shù)列{bn}的前n項和Tn ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的兩個焦點坐標(biāo)分別是，并且經(jīng)過.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過橢圓的右焦點作直線，直線與橢圓相交于兩點，當(dāng)的面積最大時，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在某次測試后，一位老師從本班48同學(xué)中隨機抽取6位同學(xué)，他們的語文、歷史成績?nèi)绫恚?/span>

學(xué)生編號

1

2

3

4

5

6

語文成績

60

70

74

90

94

110

歷史成績

58

63

75

79

81

88

（Ⅰ）若規(guī)定語文成績不低于90分為優(yōu)秀，歷史成績不低于80分為優(yōu)秀，以頻率作概率，分別估計該班語文、歷史成績優(yōu)秀的人數(shù)；

（Ⅱ）用表中數(shù)據(jù)畫出散點圖易發(fā)現(xiàn)歷史成績與語文成績具有較強的線性相關(guān)關(guān)系，求與的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.1）．

參考公式：回歸直線方程是，其中，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知：函數(shù)f（x）=Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0，||＜ ）的部分圖象如圖所示：

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若g（x）的圖象是將f（x）的圖象先向右平移1個單位，然后縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)縮短到原來的一半得到的，求g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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同步練習(xí)冊答案