Question

在矩形ABCD中，AB=1，BC=a，現(xiàn)沿AC折成二面角D-AC-B，使BD為異面直線AD、BC的公垂線．
（1）求證：平面ABD⊥平面ABC；
（2）當(dāng)a為何值時(shí)，二面角D-AC-B為45°．

Answer 1

分析：（1）要證平面ABD⊥平面ABC，只需證明平面ABC內(nèi)的直線BC，垂直平面ABD內(nèi)的兩條相交直線BD、AB即可；
（2）說(shuō)明∠DFE為二面角D-AC-B的平面角，利用二面角D-AC-B為45°，然后解三角形求出a的值即可．

解答：（1）證明：由題知BC⊥BD，又BC⊥AB，
∴BC⊥面ABD，
∴面ABC⊥面ABD、
（2）解：作DE⊥AB于E，
由（1）知DE⊥面ABC，作EF⊥AC于F，連DF，則DF⊥AC，
∴∠DFE為二面角D-AC-B的平面角，
即∠DFE=45°．EF=DE=

2

2

DF，
∵DF=

a

a2+1

，AF=

a2

a2+1

且

EF

AF

=

BC

AB

，
解得a²=

2

2

，a=

4 8

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的判定，二面角及其度量，考查邏輯思維能力，是中檔題．