Question

已知函數(shù)f（x）=

2x-a

2x+a

，若f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，則（1）求實數(shù)a的值；（2）求函數(shù)f（x）的值域；（3）求證：f（x）在R上為增函數(shù)；（4）若m為實數(shù)，解關于x的不等式：f（1）＞f（mlgx）

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義，容易求出a的值．
（2）根據(jù)解析式的特點求值域；
（3）利用函數(shù)單調性的定義證明函數(shù)的增函數(shù)；
（4）借助函數(shù)是增函數(shù)轉化不等式進而求解．

解答： 解：（1）因為函數(shù)f（x）=

2x-a

2x+a

定義在R上的奇函數(shù)，
所以f（0）=

20-a

20+a

=0，解得：a=1（3分）
（2）∵f(x)=

2x-1

2x+1

，則2x=

1+f(x)

1-f(x)

，由2^x＞0，得

1+f(x)

1-f(x)

＞0，∴f（x）∈（-1，1）（6分）
（3）設x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0，
所以f（x₁）＜f（x₂），f（x）在R上為增函數(shù)．（9分）
（4）因為f（x）在R上為增函數(shù)，所以mlgx＜1，（10分）
當m＞0時，x∈(0，10

1

m

)；（12分）  當m=0時，x∈（0，+∞）；（14分） 當m＜0時，x∈(10

1

m

，+∞)（16分）

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調性，其定義是解決該類問題的基本方法．