Question

已知函數(shù)f（x）=

2x-a

2x+a

，若f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，則（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）求函數(shù)f（x）的值域；（3）求證：f（x）在R上為增函數(shù)；（4）若m為實(shí)數(shù)，解關(guān)于x的不等式：f（1）＞f（mlgx）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義，容易求出a的值．
（2）根據(jù)解析式的特點(diǎn)求值域；
（3）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的增函數(shù)；
（4）借助函數(shù)是增函數(shù)轉(zhuǎn)化不等式進(jìn)而求解．

解答： 解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=

2x-a

2x+a

定義在R上的奇函數(shù)，
所以f（0）=

20-a

20+a

=0，解得：a=1（3分）
（2）∵f(x)=

2x-1

2x+1

，則2x=

1+f(x)

1-f(x)

，由2^x＞0，得

1+f(x)

1-f(x)

＞0，∴f（x）∈（-1，1）（6分）
（3）設(shè)x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0，
所以f（x₁）＜f（x₂），f（x）在R上為增函數(shù)．（9分）
（4）因?yàn)閒（x）在R上為增函數(shù)，所以mlgx＜1，（10分）
當(dāng)m＞0時(shí)，x∈(0，10

1

m

)；（12分）  當(dāng)m=0時(shí)，x∈（0，+∞）；（14分） 當(dāng)m＜0時(shí)，x∈(10

1

m

，+∞)（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，其定義是解決該類問(wèn)題的基本方法．