Question

在平面直角坐標(biāo)系中，定義兩點(diǎn)P（x₁，y₁）與Q（x₂，y₂）之間的“直角距離”為d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．給出下列命題：
（1）若P（1，2），Q（sinα，cosα）（α∈R），則d（P，Q）的最大值為3-

2

；
（2）若P，Q是圓x²+y²=1上的任意兩點(diǎn)，則d（P，Q）的最大值為2

2

；
（3）若P（1，3），點(diǎn)Q為直線y=2x上的動(dòng)點(diǎn)，則d（P，Q）的最小值為

1

2

．
其中為真命題的是（　�。�

• A、（1）（2）（3）
• B、（2）
• C、（3）
• D、（2）（3）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：根據(jù)折線距離的定義分別判斷（3）個(gè)命題的真假，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答： 解：對于（1），d(P，Q)=|1-sinα|+|2-cosα|=3-

2

sin(α+

π

4

)，∵α∈R，∴d（P，Q）的最大值為3+

2

，故（1）不正確．
對于（2），要使d（P，Q）最大，必有P，Q兩點(diǎn)是圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，可設(shè)P(

2

2

，

2

2

)Q(-

2

2

，

2

2

)，則d(P，Q)=2

2

．故（2）正確；
對于（3），設(shè)Q（x₀，2x₀），則d（P，Q）=|x₀-1|+|2x₀-3|，去掉絕對值后可知當(dāng)x0=

3

2

時(shí)，d（P，Q）取得最小值

1

2

．故（3）正確．
故選D．

點(diǎn)評：本題主要考查了“折線距離”的定義，考查分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題．