Question

設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

1

2

，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為

3

，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)O作兩條互相垂直的射線，與橢圓C分別交于A，B兩點(diǎn)，證明：點(diǎn)O到直線AB的距離為定值，并求弦AB長(zhǎng)度的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出

c a = 1 2 1 2 •2c•b= 3

，由此能求出橢圓C的方程，
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，原點(diǎn)O到直線AB的距離為

2 21

7

，當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為y=kx+m，聯(lián)立

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

，得(4k2+3)x2+8kmx+(4m2 -12)=0，由此求出原點(diǎn)O到直線AB的距離d=

|m|

1+k2

=

2 21

7

為定值，從而得到當(dāng)OA=OB時(shí)，弦AB長(zhǎng)的最小值為

4 21

7

．

解答： （Ⅰ）解：∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

1

2

，
短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為

3

，
∴

c a = 1 2 1 2 •2c•b= 3

，
解得a=2，b=

3

，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，
（Ⅱ）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，AB的方程為x=±

2 21

7

，
∴原點(diǎn)O到直線AB的距離為

2 21

7

，
當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為y=kx+m，
聯(lián)立

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

，得(4k2+3)x2+8kmx+(4m2 -12)=0，
∴x1+x2=

-8km

4k2+3

，x1x2=

4m2-12

4k2+3

，
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
∴（k²+1）

4m2-12

3+4k2

-

8k2m2

3+4k2

+m2=0，
整理，得7m²=12（k²+1），
∴原點(diǎn)O到直線AB的距離d=

|m|

1+k2

=

2 21

7

為定值，
綜上所述O到直線AB的距離d=

2 21

7

為定值，
∵OA⊥OB，d•AB=OA•OB≤

OA2+OB2

2

=

AB2

2

，
∴AB≥2d=

4 21

7

，
∴當(dāng)OA=OB時(shí)，弦AB長(zhǎng)的最小值為

4 21

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查原點(diǎn)到直線的距離為定值的證明，考查弦長(zhǎng)的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．