Question

（2013•惠州模擬）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（a_n，S_n）在直線x+y-2=0上，n∈N^*．
（1）證明數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，并求出其通項(xiàng)；
（2）設(shè)f（n）=log

1

2

aⁿ，記b_n=a_n+1•f（n+1），求數(shù)列{b_n}的前n和T_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，得a_n+S_n=2對(duì)任意n∈N^*都成立，由此算出a₁=1且a_n=

1

2

a_n-1，可得數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，公比q=

1

2

的等比數(shù)列．
（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則結(jié)合（1）的結(jié)論，代入化簡(jiǎn)得到b_n=n•（

1

2

）ⁿ，從而得到T_n=1×

1

2

+2×

1

22

+3×

1

23

+…+n•（

1

2

）ⁿ，利用錯(cuò)位相減法并結(jié)合等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，可得T_n=2-（n+2）

1

2n

．

解答：解：（1）∵（a_n，S_n）在直線x+y-2=0上，
∴a_n+S_n=2，
可得n=1時(shí)，a₁+S₁=2即2a₁=2解得a₁=1…（2分）
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n+S_n=2且a_n-1+S_n-1=2…（3分）
兩式相減得：a_n-a_n-1+（S_n-S_n-1）=0，即2a_n-a_n-1=0…（5分）
∴a_n=

1

2

a_n-1，可得數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，公比q=

1

2

的等比數(shù)列．…（6分）
可得a_n=（

1

2

）^n-1…（7分）
（2）由（1）得f（n）=log

1

2

aⁿ=log

1

2

（

1

2

）^n-1=n-1，
則b_n=a_n+1•f（n+1）=n•（

1

2

）ⁿ，…（9分）
∴T_n=1×

1

2

+2×

1

22

+3×

1

23

+…+n•（

1

2

）ⁿ，----①
兩邊都乘以

1

2

得

1

2

T_n=1×

1

22

+2×

1

23

+3×

1

24

+…+n•（

1

2

）ⁿ⁺¹，----②…（10分）
①-②得：

1

2

T_n=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+（

1

2

）ⁿ-n•（

1

2

）ⁿ⁺¹=（1-

1

2n

）-n•（

1

2

）ⁿ⁺¹…（11分）
即T_n=（2-2×

1

2n

）-n•（

1

2

）ⁿ，化簡(jiǎn)得T_n=2-（n+2）

1

2n

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出以數(shù)列的項(xiàng)為坐標(biāo)的點(diǎn)在已知直線上，求數(shù)列的通項(xiàng)并依此求另一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和．著重考查了直線的方程、等比數(shù)列的定義與前n項(xiàng)和公式、利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和等知識(shí)，屬于中檔題．