Question

已知函數(shù)f（x）=4^x-a•2^x+1+9，x∈[0，2]，
（1）當(dāng)a=4，證明：函數(shù)y=f（x）是[0，2]上的單調(diào)遞減函數(shù)；
（2）若函數(shù)y=f（x）是[0，2]上的單調(diào)函數(shù)，求a取值范圍；
（3）若f（x）≥0在[0，2]上恒成立，求a取值范圍．

Answer 1

解：（1）a=4時(shí)，f（x）=4^x-4•2^x+1+9=4^x-8•2^x+9，x∈[0，2]，
設(shè)t=2^x，得t∈[1，4]，
f（x）=g（t）=t²-8t+9=（t-4）²-7
∵t=2^x在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，且g（t）=（t-4）²-7在區(qū)間[1，4]上是減函數(shù)，
∴f（x）=4^x-4•2^x+1+9在區(qū)間[0，2]上是單調(diào)遞減函數(shù)；
（2）令t=2^x，得t∈[1，4]，f（x）=g（t）=t²-2at+9，
∵t=2^x在[0，2]上是增函數(shù)，且g（t）=t²-2at+9在（-∞，a]或[a，+∞）上是單調(diào)函數(shù)
∴區(qū)間[1，4]是（-∞，a]的子集，或[1，4]是[a，+∞）的子集
由此可得a≥4或a≤1，即a的取值范圍為（-∞，1]∪[4，+∞）；
（3）由（2）可得
①當(dāng)a≤1時(shí)，f（x）在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，
∴f（x）≥0在[0，2]上恒成立，即f（0）≥0，解之得a≤5
綜合可得：a≤1；
②當(dāng)a≥4時(shí)，f（x）在區(qū)間[0，2]上是減函數(shù)，
∴f（x）≥0在[0，2]上恒成立，即f（2）≥0，解之得a≤
綜合可得找不出實(shí)數(shù)a的取值；
③當(dāng)1＜a＜4時(shí)，f（x）在區(qū)間[0，2]上先減后增，
∴f（x）≥0在[0，2]上恒成立，即f（log₂a）≥0，解之得-3≤a≤3
綜合可得：1＜a≤3
綜上所述，若f（x）≥0在[0，2]上恒成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，3]．
分析：（1）當(dāng)a=4時(shí)，令t=2^x，得f（x）=g（t）=（t-4）²-7，由指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則即可證出y=f（x）是[0，2]上的單調(diào)遞減函數(shù)；
（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法，可得區(qū)間[1，4]是（-∞，a]或[a，+∞）的子集，由此解關(guān)于a的不等式即可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）f（x）≥0在[0，2]上恒成立，即f（x）的最小值大于或等于0．因此分3種情況求函數(shù)y=f（x）在[0，2]上的最小值，解關(guān)于a的不等式，最后綜合即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題給出以指數(shù)式2^x為單位的“類二次”函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性與最值，著重考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷和函數(shù)恒成立等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．