Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，則不等式f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x-1））+f（2-x）＞0的解集為（　�。�

• A． （2，3）
• B． （1，3）
• C． （0，2）
• D． （1，2）

Answer 1

分析 先確定f（x）的奇偶性，單調(diào)性，將原不等式轉(zhuǎn)化為解不等式：log₂（x-1）+（x-2）＜0，再構(gòu)造函數(shù)得出解集．

解答 解：先判斷f（x）的奇偶性，f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{{1-2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-f（x），即f（x）為R上的奇函數(shù)，
再判斷f（x）的單調(diào)性，f（x）=$\frac{2^x-1}{2^x+1}$=1-$\frac{2}{2^x+1}$，即f（x）為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，
因此，不等式f（$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（x-1））+f（2-x）＞0可化為：
f[$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（x-1）]＞f（x-2），所以，$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（x-1）＞x-2，
即log₂（x-1）+（x-2）＜0，--------------------①
構(gòu)造函數(shù)，F(xiàn)（x）=log₂（x-1）+（x-2），
該函數(shù)在定義域（1，+∞）上單調(diào)遞增，且F（2）=0，
因此，當(dāng)1＜x＜2時，F(xiàn)（x）＜0，
所以，不等式①的解集為（1，2），
故答案為：D．

點(diǎn)評 本題主要考查了函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用，涉及奇偶性和單調(diào)性的判斷和證明，并通過構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用單調(diào)性解不等式，屬于中檔題．