【題目】已知橢圓 的離心率為 ,且過點 .若點M(x0 , y0)在橢圓C上,則點 稱為點M的一個“橢點”.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A,B兩點,且A,B兩點的“橢點”分別為P,Q,以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點,試求△AOB的面積.

【答案】
(1)

解:由橢圓的離心率 ,得a=2c,

又a2=b2+c2,則 ,

∴橢圓

在C上,則 ,得c=1

,

∴橢圓C的方程為:


(2)

解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則P( , ),Q( ),

由以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點,得 ,

(1)

,消除y整理得:(3+4k2)x2+8mk+4(m2﹣3)=0,

由△=64k2m2﹣16(3+4k2)(m2﹣3)>0,得3+4k2﹣m2>0,

(2)

(3)

將(2)(3)代入(1)得: ,

即2m2﹣4k2=3,

又∵ ,

原點O到直線l:y=kx+m的距離 ,

,

把2m2﹣4k2=3代入上式得 ,即SAOB的面積是為


【解析】(1)由橢圓的離心率公式,利用待定系數(shù)法及a,b,c的關(guān)系,即可取得a與b的值,求得橢圓方程;(2)以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點,得 ,將直線l的方程代入橢圓方程,由韋達(dá)定理,弦長公式及點到直線的距離公式,將2m2﹣4k2=3代入即可求得△AOB的面積.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識,掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸:,焦點在y軸:

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