Question

已知f(x)=log2

1-x

1+x

（-1＜x＜1）
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并加以證明；
（2）若a，b∈（-1，1），證明：f(a)+f(b)=f(

a+b

1+ab

)．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)的定義域（-1，1）關(guān)于原點對稱，再檢驗f（-x）與f（x）的關(guān)系進(jìn)而可判斷函數(shù)奇偶 性
（2）由于f(a)+f(b)=log2

1-a

1+a

+log2

1-b

1+b

=log2

(1-a)(1-b)

(1+a)(1+b)

，f(

a+b

1+ab

)=log2

1+ a+b 1+ab

1- a+b 1+ab

，可證

解答：解：（1）函數(shù)的定義域（-1，1）關(guān)于原點對稱
f(-x)=log2

1+x

1-x

=-log2

1-x

1+x

=-f(x)
所以函數(shù)為奇函數(shù)
（2）f(a)+f(b)=log2

1-a

1+a

+log2

1-b

1+b

=log2

(1-a)(1-b)

(1+a)(1+b)

=log2

1-a-b+ab

1+a+b+ab

f(

a+b

1+ab

)=log2

1+ a+b 1+ab

1- a+b 1+ab

=log2

1+ab+a+b

1+ab-a-b

∴f(a)+f(b)=f(

a+b

1+ab

)

點評：本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷，要注意函數(shù)定義域的檢驗，對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于公式的基本運用