Question

3．已知函數(shù)f（x）=xⁿ，若f（a+1）＜f（10-2a），
（1）當(dāng)n=-3時(shí)，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)n=-$\frac{3}{5}$，-$\frac{2}{3}$時(shí)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n=-3時(shí)，根據(jù)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求a的取值范圍；
（2）當(dāng)n=-$\frac{3}{5}$，-$\frac{2}{3}$時(shí)，結(jié)合冪函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性進(jìn)行求解即可

解答 解：（1）當(dāng)n=-3時(shí)，f（x）=x^-3=$\frac{1}{{x}^{3}}$，
則函數(shù)在（0，+∞）上為減函數(shù)，在（-∞，0）上也減函數(shù)，
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＜0，
①若$\left\{\begin{array}{l}{a+1＜0}\\{10-2a＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜-1}\\{a＜5}\end{array}\right.$，此時(shí)a＜-1
②若$\left\{\begin{array}{l}{a+1＞0}\\{10-2a＞0}\\{a+1＞10-2a}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞-1}\\{a＜5}\\{a＞3}\end{array}\right.$，解得3＜a＜5，
③若$\left\{\begin{array}{l}{a+1＜0}\\{10-2a＜0}\\{a+1＞10-2a}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜-1}\\{a＞5}\\{a＞3}\end{array}\right.$，此時(shí)無解，
綜上3＜a＜5或a＜-1．
（2）當(dāng)n=-$\frac{3}{5}$時(shí)，f（x）=${x}^{-\frac{3}{5}}$=$\frac{1}{\root{3}{{x}^{5}}}$，則函數(shù)在（0，+∞）上為減函數(shù)，在（-∞，0）上也減函數(shù)，
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＜0，
①若$\left\{\begin{array}{l}{a+1＜0}\\{10-2a＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜-1}\\{a＜5}\end{array}\right.$，此時(shí)a＜-1
②若$\left\{\begin{array}{l}{a+1＞0}\\{10-2a＞0}\\{a+1＞10-2a}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞-1}\\{a＜5}\\{a＞3}\end{array}\right.$，解得3＜a＜5，
③若$\left\{\begin{array}{l}{a+1＜0}\\{10-2a＜0}\\{a+1＞10-2a}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜-1}\\{a＞5}\\{a＞3}\end{array}\right.$，此時(shí)無解，
綜上3＜a＜5或a＜-1．
當(dāng)n=-$\frac{2}{3}$時(shí)，f（x）=${x}^{-\frac{2}{3}}$=$\frac{1}{{x}^{\frac{2}{3}}}$=$\frac{1}{\root{3}{{x}^{2}}}$為增函數(shù)，且在在（0，+∞）上為減函數(shù)，
則f（a+1）＜f（10-2a），
等價(jià)為f（|a+1|）＜f（|10-2a|），
即|a+1|²）＞|10-2a|²＞0
則平方得a²-14a+33＜0且10-2a≠0，
即3＜a＜11且a≠5，
即a的取值范圍是3＜a＜11且a≠5．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的求解，利用冪函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．注意要進(jìn)行分類討論．