Question

（2013•豐臺(tái)區(qū)二模）已知函數(shù) f(x)=2lnx+

1

2

ax2-(2a+1)x (a∈R)．
（Ⅰ）當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若a＞0，討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，可求得f′（x），令f′（x）=0，可求得極值點(diǎn)，將x的取值情況，f′（x）正負(fù)情況及f（x）的增減情況列表，可求得函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）由于2-

1

a

=

2a-1

a

，對(duì)0＜a＜

1

2

，a=

1

2

及a＞

1

2

時(shí)分類討論，根據(jù)f′（x）的正負(fù)情況即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞0}，…．（1分）
當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，f′（x）=-

(x+2)(x-2)

2x

，…．（2分）
令f′（x）=0，在[1，e]上得極值點(diǎn)x=2，

x	[1，2）	2	（2，e]
f′（x）	+	0	-
f（x）	增	2ln2-1	減

…．（4分）
∵f（1）=-

1

4

，f（e）=2-

e2

4

，…．（5分）
f（1）＜f（e），
∴f（x）_max=f（2）=2ln2-1，f（x）_min=f（1）=-

1

4

．…．（7分）
（Ⅱ）f′（x）=

(x-2)(ax-1)

x

，…．（8分）
①0＜a＜

1

2

時(shí)，由f′（x）＞0得0＜x＜2或x＞

1

a

，
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，2），（

1

a

，+∞），
由f′（x）＜0得2＜x＜

1

a

，
所以f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（2，

1

a

）；     …．（10分）
②a=

1

2

時(shí)，f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，且當(dāng)且僅當(dāng)f′（2）=0，
∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；                         …．（11分）
③當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，由f′（x）＞0得0＜x＜

1

a

或x＞2，
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，

1

a

），（2，+∞），
由f′（x）＜0得

1

a

＜x＜2，
所以f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（

1

a

，2）．…．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，突出考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論思想與分析推理能力，屬于難題．