Question

【題目】某攝影協(xié)會(huì)在2019年10月舉辦了主題“慶祖國(guó)70華誕——我們都是追夢(mèng)人”攝影圖片展.通過平常人的鏡頭，記錄了國(guó)強(qiáng)民富的幸福生活，向祖國(guó)母親70歲的生日獻(xiàn)了一份厚禮.攝影協(xié)會(huì)收到了來自社會(huì)各界的大量作品，從眾多照片中選取100張照片展出，其參賽者年齡集中在之間，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，做出頻率分布直方圖如下：

（1）求這100位作者年齡的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（2）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，作者年齡X服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.

（i）利用該正態(tài)分布，求；

附：，若，則，，.

（ii）攝影協(xié)會(huì)從年齡在和的作者中，按照分層抽樣的方法，抽出了7人參加“講述圖片背后的故事”座談會(huì)，現(xiàn)要從中選出3人作為代表發(fā)言，設(shè)這3位發(fā)言者的年齡落在區(qū)間的人數(shù)是Y，求變量Y的分布列和數(shù)學(xué)期望.

Answer 1

【答案】（1）60；180；（2）（i）0.3413；（ii）分布列見解析，

【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，即可由平均數(shù)求法求得這100位作者年齡的樣本平均數(shù)；結(jié)合方差公式即可求得這100位作者年齡的樣本方差；

（2）（i）結(jié)合（1）可得正態(tài)分布，即可由參考數(shù)據(jù)計(jì)算得解.

（ii）根據(jù)分層抽樣方法特征可知抽取的這7人中年齡在內(nèi)有3人，在內(nèi)有4人，所以Y可能的取值為0，1，2，3，分別求得各組的概率，即可得變量Y的分布列和數(shù)學(xué)期望.

（1）這100位作者年齡的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為

（i）由（1）知，，

從而；

（ii）根據(jù)分層抽樣的原理，可知這7人中年齡在內(nèi)有3人，在內(nèi)有4人，故Y可能的取值為0，1，2，3

，

，

，

所以Y的分布列為

Y	0	1	2	3
P

所以Y的數(shù)學(xué)期望為