如圖，正四棱柱AC1中，對角線BD1=8，BD1與側(cè)面BC1所成的角為30°，

求：（1）BD1和底面ABCD所成的角；

（2）異面直線BD1和AD所成的角；

（3）正四棱柱的全面積.

 

答案：
解析：

解：（1）由于正四棱柱是長方體，D1C1⊥面BC1，

∴∠D1BC1是BD1與側(cè)面BC1所成的角.∴∠D1BC1=30°.

∵BD1=8，∴C1D1=4.∴BD=4.

∵DD1⊥底面ABCD，∴BD1和底面ABCD所成的角就是∠D1BD.

在Rt△D1BD中，cosD1BD=，∴∠D1BD=45°.

∴BD1和底面ABCD所成的角是45°.

（2）∵AD∥BC，

∴∠D1BC（或其補角）是異面直線BD1和AD所成的角.連結(jié)D1C，

在Rt△D1BC中，cosD1BC=，∴∠D1BC=60°.

∴異面直線BD1和AD所成的角是60°.

（3）在Rt△D1BC1中，BC1=BD1cosD1BC1=8cos30°=4，

∴CC1=4.

∴S全=S側(cè)+2S底=64+32.

 


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