已知橢圓：的離心率為，右焦點為(，0)．

(1)求橢圓的方程；

(2)若過原點作兩條互相垂直的射線，與橢圓交于，兩點，求證：點到直線的距離為定值.

 

(1)（2）見解析

【解析】

試題分析：(1)由離心率，右焦點坐標易得各常量值. (2)先假設，當直線AB斜率存在時，與橢圓方程聯(lián)立，可得又OA⊥OB，滿足根與系數(shù)的關系，可得4 m2＝3 k2＋3，代入點到直線的距離可得d＝.

試題解析：（1）由右焦點為(，0)，則，又，所以，

那么 4分

（2） 設，，若k存在，則設直線AB：y＝kx＋m.

由，得 6分

＞0， 8分

有OA⊥OB知x1x2＋y1y2＝x1x2＋(k x1＋m) (k x2＋m)＝(1＋k2) x1x2＋k m(x1＋x2)＝0 10分

代入，得4 m2＝3 k2＋3原點到直線AB的距離d＝. 12分

當AB的斜率不存在時，,可得，依然成立． 13分

所以點O到直線的距離為定值 14分

考點：本題考查橢圓的標準的相關概念，標準方程，直線與圓的位置關系.

 

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A． B． C． D．

 

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A．0 B．1 C．2 D．3

 

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．

 

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A. B.

C. D.

 

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A. 北偏東100 B. 北偏西100 C. 南偏東100 D. 南偏西100

 

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