Question

關于函數(shù)f（x）=sin²x-(

2

3

)|x|+

1

2

，有下列四個結論：
①f（x）為偶函數(shù)；     ②當x＞2003時，f（x）＞

1

2

恒成立；
③f（x）的最大值為

3

2

； ④f（x）的最小值為-

1

2

．其中結論正確個數(shù)為（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：根據(jù)題意：依次分析命題：①運用f（-x）和f（x）關系，判定函數(shù)的奇偶性；②取特殊值法，判定不等式是否成立；③④運用sin²x=

1-cos2x

2

進行轉化，然后利用cos2x和（

2

3

）^|x|，求函數(shù)f（x）的最值，綜合可得答案．

解答：解：由題意，y=f（x）的定義域為x∈R，且f（-x）=f（x），則函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，因此結論①正確；
對于結論②，取特殊值當x=1000π時，x＞2003，sin²1000π=0，且（

2

3

）^1000π＞0
∴f（1000π）=

1

2

-（

2

3

）^1000π＜

1

2

，因此結論②錯．
又f（x）=

1-cos2x

2

-（

2

3

）^|x|+

1

2

=1-

1

2

cos2x-（

2

3

）^|x|，-1≤cos2x≤1，
∴-

1

2

≤1-

1

2

cos2x≤

3

2

，（

2

3

）^|x|＞0
故1-

1

2

cos2x-（

2

3

）^|x|＜

3

2

，即結論③錯．
而cos2x，（

2

3

）^|x|在x=0時同時取得最大值，
所以f（x）=1-

1

2

cos2x-（

2

3

）^|x|在x=0時可取得最小值-

1

2

，即結論④是正確的．
故選B．

點評：本題以具體函數(shù)為載體，考查了函數(shù)奇偶性的判斷及借助不等式知識對函數(shù)值域范圍進行判斷，涉及到函數(shù)奇偶性的判斷，同時還涉及到三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的范圍問題，利用不等式的放縮求新函數(shù)的范圍．綜合性強