Question

某專賣店銷售一新款服裝，日銷售量（單位為件）f （n）與時間n（1≤n≤30、n∈N^*）的函數(shù)關系如下圖所示，其中函數(shù)f （n）圖象中的點位于斜率為5和-3的兩條直線上，兩直線交點的橫坐標為m，且第m天日銷售量最大．
（Ⅰ）求f （n）的表達式，及前m天的銷售總數(shù)；
（Ⅱ）按以往經(jīng)驗，當該專賣店銷售某款服裝的總數(shù)超過400件時，市面上會流行該款服裝，而日銷售量連續(xù)下降并低于30件時，該款服裝將不再流行．試預測本款服裝在市面上流行的天數(shù)是否會超過10天？請說明理由．

Answer 1

解：（I）根據(jù)題意，設f（n）=，（n∈N^*）
而f（1）=2，∴5+a=2?a=-3．
又5m+a=-3m+b，∴b=8m+a=8m-3，
∴f（n）=．（n∈N^*）
由f（m）=57得m=12．
∴f（n）=（n∈N^*）
前12天的銷售總量為5（1+2+3++12）-3×12=354件．

（II）第13天的銷售量為f（13）=-3×13+93=54件，
而354+54＞400件，
∴從第14天開始銷售總量超過400件，即開始流行．
設第x天的日銷售量開始低于30件（12＜x≤30），
即f（x）=-3x+93＜30，
解得x＞21．
∴從第22天開始日銷售量低于30件．
∵21-13=8，
∴該服裝流行的時間不超過10天．
分析：（1）由函數(shù)的圖象我們不難得到f （n）是一個分段函數(shù)，由函數(shù)f （n）圖象中的點位于斜率為5和-3的兩條直線上，我們可以利用待定系數(shù)法設出函數(shù)的解析式，然后將函數(shù)上的點代入函數(shù)的解析式，求出參數(shù)，進而得到f （n）的表達式，及前m天的銷售總數(shù)；
（2）根據(jù)（1）中的解析式，我們求出第13天的銷售量，結(jié)合（1）的結(jié)論，易得第14天時該款服裝的總數(shù)超過400件，然后計算出日銷售量低于30件時的天數(shù)，兩者之間的差值，即為本款服裝在市面上流行的天數(shù)．
點評：已知函數(shù)圖象求函數(shù)的解析式，是一種常見的題型，關鍵是要知道函數(shù)的類型，利用待定系數(shù)法設出函數(shù)的解析式，然后將函數(shù)圖象上的點的坐標代入求出參數(shù)的值，即可得到要求函數(shù)的解析式．