Question

如圖，等邊三角形ABC與直角梯形ABDE所在的平面垂直，BD∥AE，BD=2AE，AE⊥AB．
（Ⅰ）若F為CD中點(diǎn)，證明：EF⊥平面BCD；
（Ⅱ）在線段AC上是否存在點(diǎn)N，使CD∥平面BEN，若存在，求

AN

NC

的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取BC中點(diǎn)G，連接FG，AG．由中位線定理證得四邊形AEGF是平行四邊形，再由線面、
面面垂直的判定和性質(zhì)，即可得證；
（Ⅱ）在線段AC上假設(shè)存在點(diǎn)N，使CD∥平面BEN，當(dāng)

AN

NC

=

1

2

時(shí)，CD∥平面BEN．連接AD，BE交于H，連接NH，在直角梯形ABDE中，由相似知識(shí)和平行線分線段成比例的逆定理可得，CD∥NH，再由線面平行的判定定理即可得證．

解答： （Ⅰ）證明：取BC中點(diǎn)G，連接FG，AG．
又F為CD的中點(diǎn)，則FG∥BD，且FG=

1

2

BD，
∵BD∥AE，BD=2AE，
∴AE∥FG，AE=FG，
∴四邊形AEGF是平行四邊形，
∴EF∥AG，
∵三角形ABC為等邊三角形，
∴AG⊥BC，
∵平面ABC⊥平面ABDE，AE⊥AB，
∴AE⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，
∴BD⊥AG，又BD∩BC=B，
∴AG⊥平面ABC，
∴EF⊥平面BCD；
（Ⅱ）解：在線段AC上假設(shè)存在點(diǎn)N，使CD∥平面BEN，
當(dāng)

AN

NC

=

1

2

時(shí)，CD∥平面BEN．
理由如下：
連接AD，BE交于H，連接NH，
在直角梯形ABDE中，△AEH∽△DBH，
則AH：DH=AE：DB=1：2，
又AN：NC=1：2，
在△ACD中，由平行線分線段成比例的逆定理可得，CD∥NH，
∵CD?平面BEN，NE?平面BEN，
∴CD∥平面BEN．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，以及面面垂直的判定和性質(zhì)，同時(shí)考查直線與平行的判定定理，注意平面幾何知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．