【題目】(本小題滿分12分)
如圖,在五棱錐中,
,且
.
(1)已知點(diǎn)在線段
上,確定
的位置,使得
;
(2)點(diǎn)分別在線段
上,若沿直線
將四邊形
向上翻折,
與
恰好重合,求直線
與平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)點(diǎn)為靠近
的三等分點(diǎn);(2)
.
【解析】
試題分析:(1)當(dāng)點(diǎn)為靠近
的三等分點(diǎn)時(shí),在線段
取一點(diǎn)
,使得
,連結(jié)
,可證四邊形
為平行四邊形,得
,再根據(jù)比例關(guān)系得
,從而得平面
平面
,進(jìn)而得結(jié)論;(2)如圖,建立空間直角坐標(biāo)系
,可得
,再列方程組求出平面
的一個(gè)法向量,根據(jù)空間向量夾角余弦公式求解即可.
試題解析:(1)點(diǎn)為靠近
的三等分點(diǎn).
在線段取一點(diǎn)
,使得
,連結(jié)
.
.
又,
四邊形
為平行四邊形,
.
點(diǎn)
為靠近
的三等分點(diǎn),
.
,而
.
(2)取的中點(diǎn)
,連接
,
,又
,
.
如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則
.
設(shè).則
翻折后,
與
重合,
,又
.
故,從而,
.
.
設(shè)為平面
的一個(gè)法向量,
則
取,則
.
設(shè)直線與平面
所成角為
,則
,
故直線與平面
所成角的正弦值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知.
(1)寫(xiě)出所有與終邊相同的角;
(2)寫(xiě)出在內(nèi)與
終邊相同的角;
(3)若角與
終邊相同,則
是第幾象限的角?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直線的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),若以直角坐標(biāo)系
的
點(diǎn)為極點(diǎn),
方向為極軸,選擇相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系,得曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求直線的傾斜角和曲線
的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線與曲線
交于
、
兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)
,求
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列為等比數(shù)列,等差數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
,且滿足:
.
(1)求數(shù)列,
的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),求
;
(3)設(shè),問(wèn)是否存在正整數(shù)
,使得
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】漳州市博物館為了保護(hù)一件珍貴文物,需要在館內(nèi)一種透明又密封的長(zhǎng)方體玻璃保護(hù)罩內(nèi)充入保護(hù)液體.該博物館需要支付的總費(fèi)用由兩部分組成:①罩內(nèi)該種液體的體積比保護(hù)罩的容積少0.5立方米,且每立方米液體費(fèi)用500元;②需支付一定的保險(xiǎn)費(fèi)用,且支付的保險(xiǎn)費(fèi)用與保護(hù)罩容積成反比,當(dāng)容積為2立方米時(shí),支付的保險(xiǎn)費(fèi)用為4000元.
(Ⅰ)求該博物館支付總費(fèi)用與保護(hù)罩容積
之間的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅱ)求該博物館支付總費(fèi)用的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前
項(xiàng)和為
,且滿足
.
(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;
(2)若,求
的前
項(xiàng)和
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前
項(xiàng)和為
,且滿足
.
(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;
(2)若,求
的前
項(xiàng)和
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓:
經(jīng)過(guò)橢圓
:
的左右焦點(diǎn)
,且與橢圓
在第一象限的交點(diǎn)為
,且
三點(diǎn)共線,直線
交橢圓
于
,
兩點(diǎn),且
(
).
(1)求橢圓的方程;
(2)當(dāng)三角形的面積取得最大值時(shí),求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列命題錯(cuò)誤的是 ( )
A. 如果平面平面
,那么平面
內(nèi)一定存在直線平行于平面
B. 如果平面不垂直平面
,那么平面
內(nèi)一定不存在直線垂直于平面
C. 如果平面平面
,平面
平面
,且
,那么
D. 如果平面平面
,那么平面
內(nèi)所有直線都垂直于平面
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