Question

已知定義域為R的函數(shù)f（x）=

-2x+b

2x+1+2

是奇函數(shù)．
（1）求b的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性并加以證明；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)推斷出f（0）=0求得b的值．
（2）先分離常數(shù)，再利用單調(diào)性的定義證明即可．
（3）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性，得到t²-2t＞-2t²+k，再分離參數(shù)k，求出函數(shù)3t²-2t的最小值即可．

解答： 解（1）∵函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
∴

-1+b

2+2

=0
解得b=1，
（2）由（1）知f（x）=

-2x+1

2x+1+2

=

-(2x+1)+2

2(2x+1)

=-

1

2

+

1

2x+1

，
設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=-

1

2

+

1

2x1+1

+

1

2

-

1

2x2+1

=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

＞0，
∴函數(shù)f（x）為減函數(shù)．
（3）∵f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0，
∴f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（-2t²+k）恒成立，
∵函數(shù)f（x）在R上為減函數(shù)．
∴t²-2t＞-2t²+k，
∴k＜3t²-2t=3（t-

2

3

）²-

1

3

，
∴k＜-

1

3

，
故k的取值范圍為（-∞，

1

3

）

點評：本題主要考查了奇函數(shù)的性質(zhì)和含有參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題．