Question

已知函數(shù)f（x）的定義域是R，若f（x）是奇函數(shù)，0≤x＜1時，f（x）=

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x，且滿足f（x+2）=f（x）．
（1）寫出f（x）的周期．
（2）求-1≤x≤0時，f（x）的解析式．
（3）求1＜x＜3時，f（x）的解析式．
（4）求使f（x）=-

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2

成立所有x．

Answer 1

分析：（1）直接由f（x+2）=f（x）即可求出周期；
（2）設(shè)-1≤x≤0根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可得，f（x）=

1

2

x．
（3）設(shè)1＜x＜3，可得-1＜x-2＜1，根據(jù)其周期性即可求出結(jié)論．
（4）數(shù)形結(jié)合，由于函數(shù)f（x）的值域為（-

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，

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2

），滿足f（x）=-

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2

成立所有x．

解答：解：（1）由f（x+2）=f（x）可得，周期T=2．
（2）設(shè)-1＜x≤0，則0≤-x＜1．由于0≤x＜1時，f（x）=

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x，
∴f（-x）=

1

2

×（-x）=-

1

2

x=-f（x），故有f（x）=

1

2

x．
當(dāng)x=-1時，由奇函數(shù)的定義可得f（-1）+f（1）=0，再由函數(shù)的周期等于2，可得f（-1）=f（1）=0，
故有-1≤x≤0時，f（x）=

1 2 x ，   -1＜x≤0 0 ，    x=-1

．
（3）由（2）可得，-1＜x＜1時，f（x）=

1

2

x．
設(shè)1＜x＜3，可得-1＜x-2＜1，故 f（x-2）=

1

2

（x-2）=f（x），∴f（x）=

1

2

（x-2）．
（4）如圖所示：由于函數(shù)f（x）的值域為（-

1

2

，

1

2

），故滿足f（x）=-

1

2

成立所有x不存在．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．