Question

對(duì)定義域分別是D_f、D_g的函數(shù)y=f（x），y=g（x），規(guī)定：函數(shù)h（x）=

f(x)•g(x)    當(dāng)x∈Df且x∈Dg 1      當(dāng)x∈Df且x∉Dg -1   當(dāng)x∉Df且x∈Dg

．
（1）若f（α）=sinα•cosα，g（α）=cscα，寫出h（α）的解析式；
（2）寫出問題（1）中h（α）的取值范圍；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常數(shù)，且α∈[0，π]，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f（x），及一個(gè)α的值，使得h（x）=cos4x，并予以證明．

Answer 1

（1）根據(jù)題意得：h（α）=

cosα   (α≠kπ，k∈Z) 1  (α=kπ，k∈Z)

；
（2）h（α）的取值范圍是（-1，1]；
（3）令f（x）=sin2x+cos2x，α=

π

4

，
g（x）=f（x+α）=sin2（x+

π

4

）+cos2（x+

π

4

）=cos2x-sin2x，
則h（x）=f（x）f（x+α）=（sin2x+cos2x）（cos2x-sin2x）=cos4x．