Question

已知函數(shù)f（x）=asin2x+acos2x+b．
（Ⅰ）求證：函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

8

對稱
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖象過點A（0，1），且當x∈[0，

π

4

]時，f（x）≤b²恒成立，試確定實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,正弦函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）函數(shù)關(guān)于x=

π

8

對稱，只要證明f（

π

4

-x）=f（x）即可．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的定義域求函數(shù)的值域，進一步利用恒成立問題求出參數(shù)的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）證明；因為

f( π 4 -x)=asin( π 2 -2x)+acos( π 2 -2x)+b =acos2x+asin2x+b=f(x)，

所以函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

8

對稱．
（Ⅱ）由已知得f（0）=a+b=1，所以a=1-b，
f（x）=（1-b）sin2x+（1-b）cos2x+b，
即f(x)=

2

(1-b)sin(2x+

π

4

)+b，
又當x∈[0，

π

4

]時，

2

2

≤sin(2x+

π

4

)≤1，
要使得當0≤x≤

π

4

時，不等式f（x）≤b²恒成立，
須且只須

1-b＞0 2 (1-b)+b≤b2

或

1-b≤0 (1-b)+b≤b2

，
解得b≤-

2

或b≥1．
所以所求b的取值范圍為：b≤-

2

或b≥1．

點評：本題考查的知識要點：函數(shù)對稱性的證明，正弦型函數(shù)的性質(zhì)，恒成立問題的應用．屬于基礎(chǔ)題型．