Question

（本小題滿分12分）

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為、，上頂點(diǎn)為A，直線交橢圓于. 如圖所示沿軸折起，使得平面平面. 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).

( I ) 求三棱錐的體積；

（Ⅱ）線段上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，請(qǐng)?jiān)趫D1中指出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】本試題主要是考查了立體幾何中的線線垂直的證明，以及棱錐的體積公式的和解析幾何中橢圓的方程和性質(zhì)的綜合運(yùn)用。

（1）依題意得：的頂點(diǎn)，，

直線,聯(lián)立方程組求解坐標(biāo)，表示  

進(jìn)而求解體積。

（2）假設(shè)存在點(diǎn)，使得，由（Ⅰ）可知面，而面

 ，又

又

故只需過點(diǎn)作直線垂直于直線交于，點(diǎn)即為所求.

解:（Ⅰ）依題意得：的頂點(diǎn)，，

直線,聯(lián)立方程組

    

又面面，而，

面面   面，即為錐的高，

故

（Ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn)，使得，

由（Ⅰ）可知面，而面

 ，又

又

故只需過點(diǎn)作直線垂直于直線交于，點(diǎn)即為所求.

在圖1中，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立方程組

解得