Question

在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD是矩形且AB=2BC=2，側(cè)面△ADE是正三角形且垂直于底面ABCD，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，AD的中點(diǎn)為O，求：
（1）異面直線AE與CF所成的角的余弦值；
（2）點(diǎn)O到平面EFC的距離；
（3）二面角E-FC-D的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,異面直線及其所成的角,點(diǎn)、線、面間的距離計算

專題：空間角

分析：（1）取EB的中點(diǎn)G，連結(jié)FG，則FG∥AE，則∠GFC為AE與CF所成角，求出CG，CF的長，即可求異面直線AE與CF所成的角的余弦值；
（2）作CF⊥ER，過O作OH⊥ER且與ER交于點(diǎn)H，則OH⊥平面EFC，OH的長即為點(diǎn)O到平面EFC的距離，利用等面積，可求點(diǎn)O到平面EFC的距離；
（3）由（2）知，∠ERO即為二面角E-FC-D的平面角，利用正切函數(shù)，即可求二面角E-FC-D的正切值．

解答： 解：（1）取EB的中點(diǎn)G，連結(jié)FG，則FG∥AE，則∠GFC為AE與CF所成角，
∵側(cè)面△ADE是正三角形且垂直于底面ABCD，底面ABCD是矩形，
∴AB⊥平面EAD．
∴AB⊥EA?
∵AB=2BC=2，∴EB=

EA2+AB2

=

5

．
同理，EC=

5

．
∴在△EBC中，CG=

7

2

．
又∵FG=

1

2

EA=

1

2

，CF=

BC2+BF2

=

2

．
∴cos∠CFG=

2

4

．
∴異面直線AE與CF所成的角的余弦值為

2

4

．
（2）作CF⊥ER，則
∵側(cè)面△ADE是正三角形，AD的中點(diǎn)為O，
∴EO⊥底面ABCD
∵側(cè)面△ADE垂直于底面ABCD，
∴EO⊥底面ABCD，
∵FC?平面ABCD
∴EO⊥FC
∵EO∩ER=E
∴CF⊥平面EOR
∵CF?平面EFC
∴平面EOR⊥平面EFC．
過O作OH⊥ER且與ER交于點(diǎn)H，則OH⊥平面EFC，
∴OH的長即為點(diǎn)O到平面EFC的距離．
∵S_△CFO=S_矩形ABCD-S_△AOF-S_△CBF-S_△COD?
∴OR=

3 2

4

．
在Rt△EOR中，OH=

EO•OR

ER

=

3 5

10

．
∴所求距離為

3 5

10

．
（3）由（2）知，∠ERO即為二面角E-FC-D的平面角，
則tan∠ERO=

EO

OR

=

3 2

3 2 4

=

6

3

，
∴所求二面角的正切值為

6

3

．

點(diǎn)評：本題考查空間角，考查點(diǎn)到平面距離的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．